điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị": http://123doc.vn/document/1052535-diem-bat-dong-cua-mot-so-lop-anh-xa-da-tri.htm

Chương 1

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ
1.1. CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG
1.1.1. Ánh xạ đa trị
Cho
,
X Y
là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu
Y
2
là họ tất cả các tập con của
Y
. Một ánh xạ
: 2
Y
F X 
gọi là một ánh xạ đa trị từ
X
vào
Y
.
Điểm
*
x
được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị
: 2
X
F X 
nếu
* ( *)
x F x


1.1.2. Một số thuật ngữ và ký hiệu liên quan
 Đồ thị của
: 2
Y
F X 
là tập con của
X Y

ký hiệu
gphF
, định nghĩa bởi


( , ) : ( )
gphF x y X Y y F x
   

 Domain của
F
( miền hữu hạn ) được ký hiệu và định nghĩa:


: ( )domF x X F x
   

 Miền ảnh ký hiệu
rgeF
:


: , ( )
rgeF y Y x X y F x
    

 Ánh xạ ngược:
1
: 2
X
F Y


của ánh xạ
: 2
Y
F X 
được định nghĩa bởi công
thức


1
( ) : ( )
F y x X y F x

  
,
( )
y Y


1
( ) ( ) ( , )
x F y y F x x y gphF

    

 Đối với mỗi tập
M Y

ta phân biệt hai loại ảnh ngược sau đây:
+ Nghịch ảnh của M là:


( ) : ( )F M x F x M

   

+ Nhân của M qua
F
là:


( ) : ( )
F M x F x M

 

 Giả sử
: 2 ; : 2
Y Z
G X H Y 
. Khi đó
: 2
Z
H G X 

xác định bởi:
( )
( )( ) ( ),
y G x
H G x H y x X

  



 Cho
: 2
Y
F X 
là các ánh xạ đa trị,
,
X Y
là các không gian tôpô.
+ Nếu
gphF
là tập đóng trong không gian tôpô tuyến tính
X Y

thì
F
được gọi là ánh xạ
đóng.
+ Nếu
,
X Y
là các không gian tuyến tính tôpô và nếu
gphF
là tập lồi trong không gian tích
X Y

thì
F
được gọi là ánh xạ đa trị lồi.
+ Nếu
( )
F x
là tập đóng
x X
 
thì
F
được gọi là ánh xạ có giá trị đóng.
+ Nếu
Y
là không gian tuyến tính tôpô và nếu
( )
F x
là tập lồi,
x X
 
thì
F
được gọi là
ánh xạ có giá trị lồi.
1.1.3. Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.1.3.1
Ta nói ánh xạ đa trị
F
là nửa liên tục trên tại
x domF

nếu với mọi tập mở
V Y

thỏa mãn
( )
F x V

tồn tại lân cận
U
của
x
sao cho

( ) ,
F x V x U
  

Nếu
F
là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc
domF
, thì
F
được gọi là nửa liên tục trên ở
trong X.
Định nghĩa 1.1.3.2
Ta nói ánh xạ đa trị
F
là nửa liên tục dưới tại
x domF

nếu với mọi tập mở
V Y

thỏa mãn
( )F x V
  
tồn tại lân cận
U
của
x
sao cho

( ) ,
F x V x U domF
     

Nếu
F
là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc
domF
, thì
F
được gọi là nửa liên tục dưới ở
trong X.
Định nghĩa 1.1.3.3
Ta nói
F
là liên tục tại
x domF

nếu
F
đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại
x
.
Nếu
F
là liên tục tại mọi điểm thuộc
domF
, thì
F
được gọi là liên tục trên X.
Định nghĩa 1.1.3.4 ( Ánh xạ hêmi liên tục trên )
Ta nói
: 2
Y
F X 
là hêmi liên tục trên tại
0
x domF

nếu với mọi
*
p Y

, hàm số


( ),
x F x p


là nửa liên tục trên tại
0
x
.
F
gọi là hêmi liên tục nếu nó là hêmi liên tục tại mọi
x domF

.


1.2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ TÍNH CHẤT CO
Định nghĩa 1.2.1
Cho
( , )
X
X d
là một không gian metric và


, 2 \
X
A C
 
.
Đặt


( , ) max sup ( , ),sup ( , )
X X
a A c C
h A C d a C d c A
 

, với
( , )h A C
 
được cho phép. Số thực
( , )
h A C
được gọi là khoảng cách Housdorff giữa A và C liên quan đến metric
X
d
.
Với
( , )
X
d x A
là khoảng cách giữa điểm
x
và tập A nghĩa là
( , ) min ( , )
X X
y A
d x A d x y


.
Định lý 1.2.2 (Định lý điểm bất động Naler) [3]
Nếu
( , )
X
X d
là một không gian metric đầy đủ và
: ( )
f
F X P X

là một ánh xạ h-co ( tức là
( ( ), ( )) ( , )
X
h F x F y kd x y

với
, , [0,1)
x y X k
 
) thì F có điểm bất động tức là
: ( ).
x X x F x
  

Chứng minh
Chọn
1
( ,1)
k k

và

0
x X
. Sau đó lấy

1 0
( )
x F x
thỏa
1 0
x x

, tức là
0 1
( , ) 0
X
d x x


(Nếu
1
x
không tồn tại thì
0
x
là điểm bất động cần tìm của
F
)
Vì


0
0 1
1 1 1
( )
1 0
( ) ( )
( , ( )) sup ( , ( ))
max sup ( , ( ), sup ( , ( ))
X X
x F x
X X
x F x y F x
d x F x d x F x
d x F x d y F x


 
 
 

 
 
 
 

=
0 1 0 1 1 0 1
( ( ), ( )) ( , ) ( , )
X X
h F x F x kd x x k d x x
 

Theo tính chất inf, ta có

2 1
( )
x F x
sao cho
1 2 1 0 1
( , ) ( , )
X X
d x x k d x x

.
Bằng quy nạp, chúng ta chọn được một dãy


1
n
n
x

sao cho

1
( ), 1
n n
x F x n

 
và
1 1 0 1
( , ) ( , ), 1
n
X n n X
d x x k d x x n

  
(1.2.1)
Từ bất đẳng thức (1.2.1) ta suy ra rằng


1
n
n
x X


là dãy Cauchy.
Do X là đầy đủ nên suy ra
n
x x

trong X.
Ta chứng minh

( )
x F x
.
Thật vậy ta có:
1
( , ( )) ( ( ), ( )) ( , ) 0
X n n X n
d x F x h F x F x kd x x

  

Vì vậy
( , ( )) 0
X
d x F x

và vì F(x) là đóng nên chúng ta có

( )
x F x
.
Ghi chú 2.1.3
i) Điểm bất động trong Định lý 1.2.1 là không duy nhất.
ii) Tập các điểm bất động của F (kí hiệu là Fix(F)) là tập đóng.
Chứng minh
i) Nếu
( ) , x X
F x X
  
thì với mọi
x X

là điểm bất động của F.
Lấy


( )
n
x Fix F

.
ii) Giả sử
n
x x

, ta chứng minh

( )
x Fix F
nghĩa là chứng minh

( )
x F x
.
Ta có
( , ( )) ( ( ), ( )) ( , ) 0
X n n X n
d x F x h F x F x kd x x
  

Suy ra
( , ( )) 0
X
d x F x


Vậy Fix(F) là đóng.

Mệnh đề 1.2.4 [3]
Nếu
( , )
X
X d
là một không gian metric đầy đủ,
1 2
, : ( )
bf
F F X P X

là h-co với hằng số co

[0,1)
k
và
( )
i
Fix F
kí hiệu là tập điểm bất động của
( 1,2)
i
F i

thì

1 2 1 2
1
( ( ), ( )) sup ( ( ), ( ))
1
x X
h Fix F Fix F h F x F x
k



Chứng minh
Lấy
0
e

và chọn
0
x

sao cho
1
. 1
n
n
n kx





Đặt
1
1
1
k
e xe


Lấy

0 1
( )
x Fix F
và sau đó chọn

1 2 0
( )
x F x
sao cho
0 1 1 0 2 0
( , ) ( ( ), ( ))
X
d x x h F x F x
e
 
(1.2.2)
Vì
 
0 1 0 1 0
( ) ( )
x Fix F x F x

.
Đặt





0 2 0 0 2 0 1 0 2 0
( , ) : ( ) inf ( , ( )) ( ), ( )
X X
A d x x x F x A d x F x h F x F x
   

Suy ra
1 2 0
( )
x F x
 
sao cho
0 1 1 0 2 0
( , ) ( ( ), ( ))
X
d x x h F x F x
e
 

Vì


2 1 2 0 1 0
( ), ( ) ( , )
X
h F x F x kd x x

nên chúng ta có thể tìm
2 2 1
( )
x F x

thỏa
2 1 1 0 1
( , ) ( , )
X X
d x x kd x x k
e
 
.
Thật vậy ta có :
 
1 2 1 2 0 2 1 0 1
( ; ( )) ( ( ), ( )) ( , )
X
d x F x h F x F x kd x x
. Suy ra tồn tại
2 2 1
( )
x F x

sao
cho

2 1 0 1 1
( , ) ( , )
X
d x x kd x x k
e

.
Bằng phương pháp quy nạp ta chọn được một dãy


1
n
n
x

sao cho

1 2
( ), 1
n n
x F x n

 
(1.2.3)
và

1 0 1 1
( , ) ( , )
n n
X n n X
d x x k d x x nk
e


(1.2.4)
Từ bất đẳng thức (1.2.4) ta được

1 0 1 1
( , ) ( , )
1
m
n
n n X
n m n m
k
d x x d x x nk
k
e
 

 


 
(1.2.5)
Do (2.1.5) nên


1
n
n
x

là dãy Cauchy, và do
( , )
X
X d
đầy đủ nên ta có:
n
x x

trong X
Từ (1.2.3) ta có:
 
1 2 2 2
( , ( )) ( ( ), ( )) ( , ) 0
n n X n
d x F x h F x F x kd x x



Suy ra
2 2
( , ( )) 0 ( )
d x F x x F x
  

Vậy
2
( )
x Fix F


Hơn nữa từ (1.2.5) và (1.2.2) ta có
 
 
 

0 1 0 1 1
0 1
1 0 2 0
1
( , ) ( , ) ( , )
1
1
( ), ( ) 2
1
n
X X n n X
n n
d x x d x x d x x nk
k
h F x F x
k
e
e
 

 




 

Suy ra
   


1 2 1 2
1
( ), ( ) sup ( ), ( ) 2 , 0
1
x X
h Fix F Fix F h F x F x
k
e e
 
 
 
  
 
 

 
 
.
Suy ra ,
   


1 2 1 2
1
( ), ( ) sup ( ), ( )
1
x X
h Fix F Fix F h F x F x
k

.
Hệ quả 1.2.5 [3]
Nếu
( , )
X
X d
là một không gian mêtric đầy đủ,
, : ( )
n bf
F F X P X

với
1
n

là các hàm h-co
với hằng số
[0,1)
k

và



sup ( ), ( ) 0
n
x X
h F x F x

,
thì


( ), ( ) 0
n
h Fix F Fix F

.
Chứng minh
Áp dụng Định lí 1.2.3 ta có
   


1
( ), ( ) sup ( ), ( )
1
n n
x X
h Fix F Fix F h F x F x
k


Do


sup ( ), ( ) 0
n
x X
h F x F x



Suy ra,


( ), ( ) 0
n
h Fix F Fix F

.
1.3.
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ LỒI
Định nghĩa 1.3.1
Giả sử X là không gian mêtric,
K X

và
, 1, 2, ,
i
i n


là phủ mở hữu hạn của K. Ta nói các hàm
liên tục
:
i
K



là phân hoạch đơn vị liên tục ứng với họ phủ


i

nếu


sup( ) : ( ) 0
i i i
x K x
  
   
và với mọi
,
x K

1
0 ( ) 1 ; ( ) 1
n
i i
i
x x
 

  

.
Định nghĩa 1.3.2
Cho X là một không gian vectơ.
a) Một tập C được gọi là đóng hữu hạn nếu nó giao với một phẳng hữu hạn chiều bất kì
Y X

(
Y x L
 
với
x X

và L là không gian con hữu hạn chiều của X) là đóng trong
không gian tôpô Euclid Y.
b) Một họ


1
i
i
C

của X được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu giao của mỗi họ con hữu hạn
là khác rỗng.
Định lý 1.3.3 ( Định lý điểm bất động Brouwer) [6]
Ánh xạ
f
đơn trị liên tục từ một tập lồi compact trong không gian hữu hạn chiều vào chính
tập này luôn có điểm bất động, tức là tồn tại điểm
x
thỏa
( )
f x x

.
Định lý 1.3.4 (Bất đẳng thức Ky Fan) [6], [7]
Giả sử K là tập lồi, compact trong không gian định chuẩn X. Giả sử
: X X

 

thỏa:
i) Với mọi
, (., )
y K y


là hàm nữa liên tục dưới.
ii) Với mọi
, ( ,.)
x K x


là hàm lõm.
iii) Với mọi
, ( , ) 0
y K y y

 

Khi đó, tồn tại
x K

sao cho


, 0,
x y y K

  
.
Chứng minh
i) Xét trường hợp X hữu hạn chiều.
Giả sử
,
x K y K
   
sao cho
( , ) 0
x y



Với mỗi
y K

, đặt
{ : ( , ) 0}
y
x K x y
 
  
(*)
Vì
(., )
y

là hàm nữa liên tục dưới nên
y

là tập mở trong không gian tôpô cảm sinh K.
Từ (*) suy ra


y
y K


là một phủ mở của K.
Do K compact nên tồn tại
1 2
, , ,
n
y y y K

sao cho
1
i
n
y
i
K




. Khi đó tồn tại phân hoạch liên tục


i

ứng với họ phủ


1, ,
i
y
i n


.
Xét ánh xạ ( đơn trị )
:
f K K

như sau:
1
, ( ) ( )
n
i i
i
x K f x x y


  


Vì K là tập lồi,
i
y K

với
1, ,
i n

;
( ) 0
i
x


và
1
( ) 1
n
i
i
x




nên
( ) ,
f x K x
 
.
Do
( )
i


là các hàm liên tục nên
( )
f x
là ánh xạ liên tục.
Theo định lý Brouwer tồn tại
y K

sao cho


y f y


Do giả thiết ii)
       
1 1
, , ,
n n
i i i i
i i
y y y y y y y y
    
 
 
 
 
 
 

Đặt






0
I y i y

  
thì


I y
 
vì
 
1
1
n
i
i
y





Ngoài ra ta có


i I y

thì
supp
i
i y
y
 
 

Do đó theo định nghĩa
y

,


, 0
i
y y


suy ra

       
 
1
, , 0
n
i i i i
i
i I y
y y y y y y
   


 
 

Tức


, 0
y y


( mâu thuẩn với iii)).
b) Trường hợp
X
vô hạn chiều.
Gọi S là họ mọi tập hữu hạn,
1 2
{ , , , }
m
M y y y K
 
và đặt
supinf max ( , )
i
i
x K y M
M S
v x y

 



Ta chứng minh
0
v


Gọi
m
S
là đơn hình
1 2
1
( , , , ) : 1, 0
m
i i
i
m
    

 
  
 
 


và đặt
1 1
( , ) ,
m m
M j i i i
j i
y y
     
 
 

 
 
 
,
,
m
S
 


Ta thấy
M

thỏa cả 3 giả thiết cho

.
Thật vậy
i) Hiển nhiên thỏa.
ii) Thỏa vì
M

tuyến tính theo

.
iii) Thỏa vì
1 1 1 1
( , ) , , 0
m m m m
M i i i j i i j j
i j i j
y y y y
        
   
   
  
   
   
   

Do đó theo phần a) trên đây, tồn tại
m
S


sao cho
   
1
, , , 0
m
m
j j M
i
S x y
     

   


Với
1
m
i
i
i
x y coM K


  

.
Bây giờ ta có:
   
1
inf max ( , ) max , sup , 0
m
j j
m
M j j i j
x K
y M y M
S
x y x y x y

    

 

   


Vậy
sup 0
m
M M
S

 

 

Ta còn phải chứng minh tồn tại
x K

để


sup ,
y K
x y
 


.
Đó là nội dung của bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.4
Giả sử X là không gian tôpô,
K X

là tập compact, L là tập bất kỳ.
Giả sử
:
K L

 

thỏa điều kiện


.,
y

là nửa liên tục dưới
y L
 
. Gọi S là họ các tập hữu
hạn của L. Khi đó, tồn tại
x K

để






x K
sup , sup , inf max ,
m
j
j
y M
y L
M S
x y x y x y
   




 

Chứng minh
Đặt




: ,
y
S x K x y
 
  
.
y
S
là tập đóng nằm trong tập compact K nên là compact. Ta
sẽ chứng tỏ họ
y
S
có tính chất là mọi giao hữu hạn đều khác

. Xét
, 1,2, ,
i
y
S i n

nào đó. Gọi


1 2
, , ,
n
M y y y

. Vì


.,
y

là hàm nửa liên tục dưới nên


max .,
i
y M
y


(của hữu hạn hàm) cũng là
nửa liên tục dưới và do đó đạt minimum trên K tại
M
x K

:




inf max , max ,
i i
i M i
x K y M y M
x y x y
  
  
 

Vậy
1
i
n
M y
i
x S



. Do tính compact, giao toàn bộ
y
y L
S

 

, điểm
y
y L
x S



sẽ thỏa bổ đề.
Định nghĩa 1.3.4 (Điểm cân bằng)[6]
Giả sử X là không gian định chuẩn,
K X

,
: 2
X
F X 
. Điểm
x K

được gọi là điểm
cân bằng của F với ràng buộc K nếu


0
F x


Định nghĩa 1.3.5
Giả sử X là không gian định chuẩn,
: 2
X
F X 

Tập
K domF

gọi là miền tồn tại của F nếu với mọi
x K

,




0
K
F x T x



Với


K
T x
là bao đóng của nón sinh bởi
K x

, tức là
   
0
K K
h
K x
T x clS x cl
h


 




Định lý 1.3.6 (Định lý về sự tồn tại điểm cân bằng)[6]
Giả sử X là không gian định chuẩn,
: 2
X
F X 
là ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên ở trong
X, có giá trị lồi đóng. Nếu tập lồi compact khác rỗng
K X

là miền tồn tại của F thì tồn tại
x K


là điểm cân bằng của F, tức là


:0
x K F x
  

Chứng minh
Giả sử phản chứng là với mọi


,0
x K F x
 

Với mỗi
x K

, do


F x
là lồi đóng và


0
F x

, sử dụng định lý tách các tập lồi, ta tìm được
*
x
p X

sao cho




, 0
x
F x p



Khi đó với
*
p X

, họ






: , 0
p
x K F x p
 
  
là phủ mở của K
(
p

mở do tính hêmi liên tục trên của F)
Do K compact nên tồn tại họ phủ hữu hạn
, 1,2, ,
i
p
i n



Gọi


i

là phân hoạch đơn vị liên tục ứng với họ


i
p


Xét hàm
:
K K

 

cho bởi công thức:
   
1
, ,
n
i i
i
x y x p x y
 

 


Rõ ràng là
i)


, .,
y K y

 
là hàm số liên tục
ii)


, ,.
x K x

 
là hàm số aphin (do đó là hàm lõm)
iii)


, , 0
y K y y

  

Vậy các giả thiết của định lý KyFan được thỏa
Do vậy
x K
 
để với
 
1
n
i i
i
p x p




và mọi
y K

,


, , 0
x y p x y

  

Điều này tương đương với
, 0
p y x
  
, tức


K
p T x
 

Vì K là miền tồn tại của F nên tồn tại




K
F x T x

 

Vậy




, , 0
F x p p
 
 

Đặt






1,2, , : 0
i
I x i n x

  

Vì
 
1
n
i
i
x



và


0,
i
x i

 
nên


I x
 

Với mọi


i I x

, do


0
i
x


nên
i
p
x



Từ đó suy ra










 
, , 0
i i
i I x
F x p x F x p
  

 

(mâu thuẫn)
Định lý được chứng minh
Định lý 1.3.7 (Định lý điểm bất động Kakutani)[6]
Giả sử K là tập lồi, compact trong không gian Banach X, Cho
:
G K K

là ánh xạ đa trị
hêmi liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Khi đó, G có điểm bất động
x
trong K,
tức là


x K G x
 

Chứng minh
Đặt




F x G x x
 
. Từ các giả thiết đặt trên G suy ra rằng
:
F K X

là ánh xạ đa trị
hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng.
Vì K lồi nên


K
K x T x
 

Mặt khác


G K K

nên






,
K
F x G x x K x T x x K
      

Do đó K là miền tồn tại của F
Theo Định lý 1.3.6, tồn tại
x K

sao cho


0
F x

tức là tồn tại
x K

sao cho


x G x


Định nghĩa 1.3.8 ( Ánh xạ hướng vào và hướng ra)
i) Ánh xạ
: 2
X
G K 
thỏa






,
K
G x x T x x K
    

được gọi là hướng vào.
ii) Ánh xạ
: 2
X
G K 
thỏa






,
K
G x x T x x K
    

được gọi là hướng ra.
Định lý 1.3.9 [6]
Giả sử X là không gian Banach,
K X

là tập lồi, compact. Giả sử
: 2
X
G X 
là ánh xạ đa
trị hêmi liên tục trên với ảnh lồi, đóng, khác rỗng. Nếu G hướng vào hoặc hướng ra thì G có điểm
bất động
x
trong K, tức là


x K G x
 

Chứng minh
Rõ ràng K là miền tồn tại của
F G I
 
nếu G hướng vào và của
F I G

 
nếu G hướng ra.
Theo Định lý 1.3.6 về điểm cân bằng ta thấy
x
là điểm cân bằng của F hoặc
F

tương ứng. Chúng
đều là điểm bất động của G.
Định lý 1.3.10 [3]
Nếu X là không gian lồi địa phương,
K X

là tập khá rỗng, compact và lồi và


: 2 \
K
F K
 
là ánh xạ đa trị với giá trị lồi, sao cho với mỗi
y K

, tập








:
F y x K y F x

  
là mở thì tồn tại
x K

sao cho


x F x


Chứng minh
Họ
 




y K
F y


là một phủ mở của K.
Vì vậy chúng ta có thể tìm được một phủ con hữu hạn
 




1
n
k
k
F y


và một phân hoạch đơn vị liên
tục tương ứng


1
n
i
i



Đặt
   
i
1
u x =
n
i
i
x y




Thì
:
u K K

là hàm chọn liên tục của F
Áp dụng định lý Brouwer, ta thu được




:
x K x u x F x
   

1.4. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI
Định nghĩa 1.4.1
Cho X là không gian tô pô Hausdorff và
C X

. Chúng ta nói rằng C là một tập co của X, nếu
có một ánh xạ liên tục
:
r X C

, thỏa mãn

|
C C
r id
