Tính điều khiển được hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
toán tử hiệu chỉnh . Công thức nghiệm này cho thấy rõ hơn sự khác biệt của
phương trình vi phân suy biến so với phương trình vi phân thường, ngoài ra việc
tìm ra cấu trúc tập nghiệm còn nhằm áp dụng vào việc nghiên cứu tính điều khiển
được của hệ phương trình vi phân tuyến tính được trình bày ở mục 2.
Mục 2 trình bày tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính với hệ số hằng theo [6], trong đó tiêu chuẩn điều khiển được là mở rộng
của tiêu chuẩn hạng Kalman.
Chương 2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm và tính điều khiển được của hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính có hệ số biến thiên.
Mục 1 của chương 2 trình bày tính giải được của phương trình vi phân tuyến
tính không dừng theo cuốn sách [7]. Bằng cách tác động toán tử hiệu chỉnh trái
vào phương trình vi phân ẩn, ta có thể đưa phương trình từ phức tạp về đơn giản
để dễ nghiên cứu hơn.
Mục 2 của chương 2 trình bày tính điều khiển được hệ phương trình vi phân
đại số với hệ số biến thiên theo [9]. Thống nhất với mục 1, mục 2 cũng dùng toán
tử hiệu chỉnh trái để đưa việc nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển được hệ suy biến
không dừng về nghiên cứu hệ đơn giản hơn.
Mặc dù luận văn chủ yếu là trình bày lại các kết quả trong [6], [7], [8], [9],
nhưng chúng tôi cố gắng thể hiện những lao động của mình trong quá trình đọc,
nghiên cứu và mở rộng các kết quả ấy cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến
tính. Thí dụ: Mục 1.1 chương 1 trình bày công thức nghiệm tường minh của
phương trình vi phân tuyến tính không dừng với ma trận luỹ linh là kết quả của
tác giả, đã được báo cáo tại Hội nghị nghiên cứu khoa học sau đại học do Đại học
Sư phạm Thái Nguyên tổ chức (Thái Nguyên, tháng 7-2008) và được đăng trong
[3]. Chúng tôi cũng cố gắng chi tiết hóa hoặc tìm ra những cách chứng minh khác
với cách chứng minh trong [6], [7], [8], [9]. Trong toàn bộ luận văn, chúng tôi cố
gắng diễn giải những định lý, bổ đề một cách dễ hiểu nhất. Chúng tôi hy vọng
rằng, luận văn cho thấy rõ hơn sự phát triển trong nghiên cứu tiêu chuẩn điều
khiển được hệ phương trình vi phân từ đơn giản đến phức tạp, từ phương trình vi
phân thường đến phương trình vi phân ẩn suy biến với hệ số biến thiên.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS – TS Tạ
Duy Phượng. Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy.
Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái
Nguyên, nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn bản.
Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông, ủng
hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận văn.
Thái Nguyên, ngày 18 tháng 9 năm 2008
Tác giả
Vi Diệu Minh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Chƣơng 1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG
§1 TÍNH GIẢI ĐƢỢC CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ HẰNG
1.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận lũy linh
Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
( ) ( ) ( ) ( )Nx t x t B t u t

,
0t ³
, (1.1.1.1)
trong đó
N
là ma trận vuông cấp
2
n
, không phụ thuộc vào
t
và là ma trận lũy
linh bậc
h
, tức là
2
0
h
n
N =
với
2
0
n
là ma trận vuông cấp
2
n
có tất cả các thành
phần bằng 0;
()xt
là một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không gian
2
n
¡
và thỏa mãn phương trình (1.1.1.1) hầu khắp nơi (là nghiệm của phương trình
vi phân (1.1.1.1));
()Bt
là ma trận cấp
2
nm´
và
()ut
là vectơ hàm
m
chiều.
Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau (xem [3]).
Bổ đề 1.1
Giả sử
()Bt
và
()ut
tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành phần là
các hàm khả vi liên tục đến cấp
h
, trong đó
h
là bậc của ma trận lũy linh
N
. Khi
ấy với mọi
1 kh££
ta có
1
( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( )
1
0
( ) ( ) ( ) ( )
k
k k k k k i k i i
k
i
N x t N x t N C B t u t
, (1.1.1.2)
trong đó
()
()
k
xt
là đạo hàm cấp
k
của vectơ hàm
()xt
, tương tự,
()
()
i
ut
là đạo
hàm cấp
i
của vectơ hàm
()ut
, còn
()
()
s
Bt
là đạo hàm cấp
s
của ma trận hàm
()Bt
,
!
!( )!
i
k
k
C
i k i
=
-
với
0 ik££
.
Chứng minh
Nhân phương trình (1.1.1.1) với ma trận
N
rồi lấy đạo hàm hai vế ta được:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x t Nx t N B t u t B t u t

  
.
Lại tiếp tục nhân phương trình này với
N
rồi lấy đạo hàm hai vế ta được:
3 2 2
2
2 2 (2 ) ( )
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
i i i
i
N x t N x t N B t u t B t u t B t u t B t u t
N x t N C B t u t
  
    


Như vậy, công thức (1.1.1.2) đúng với
1,2,3s =
.
Giả sử công thức (1.1.1.2) đúng với mọi
s k h£<
. Ta sẽ chứng minh nó đúng
với
1sk=+
. Thật vậy, theo qui nạp ta có
1
( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( )
1
0
( ) ( ) ( ) ( )
k
k k k k k i k i i
k
i
N x t N x t N C B t u t
.
Nhân phương trình này với
N
rồi lấy đạo hàm hai vế ta được:
1
1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1)
1
0
( ) 0 ( ) 0 ( 1)
11
1 ( 1) 1 ( 2) 2 ( 2)
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
k
k k k k k i k i i k i i
k
i
k k k k k k
kk
k k k k k k
k k k
k
k
N x t N x t N C B t u t B t u t
N x t N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N C B t u t N C B t u t
NC

  
2 ( 3) 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) ( )
1 1 1
( ) ( ) ( 1 ) ( 1)
11
2 (2) ( 2) 2 ( 1)
11
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
()
k k s k s s k s k s s
kk
k s k s s k s k s s
kk
k k k k k k
kk
kk
k
B t u t N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N C B t u t
N C B t u



( 1) 1 ( )
1
( ) ( ) ( )
k k k k
k
t N C B t u t
( ) 0 ( ) 0 1 ( 1)
1 1 1
1 2 ( 2) 1 ( ) ( )
1 1 1 1
2 1 ( 1) 1 ( )
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
k k k k k k
k k k
k k k s s k s s
k k k k
k k k k k k k
k k k
N x t N C B t u t N C C B t u t
N C C B t u t N C C B t u t
N C C B t u t N C B t u t




Nhưng
( )
1
1!
!( 1 )!
i
k
k
C
i k i
-
-
=

nên
00
1
1
kk
CC
-
==
;
1
1
1
kk
kk
CC
-
-
==

và

1
11
s s s
k k k
C C C



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
nên
1 ( 1)
( ) 0 ( ) 0 1 ( 1)
1 1 1
1 2 ( 2) 1 ( ) ( )
1 1 1 1
2 1 ( 1) 1 ( )
1 1 1
()
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kk
k k k k k k
k k k
k k k s s k s s
k k k k
k k k k k k k
k k k
kk
N x t
N x t N C B t u t N C C B t u t
N C C B t u t N C C B t u t
N C C B t u t N C B t u t
Nx



0 ( ) 1 ( 1)
2 ( 2) ( ) ( )
1 ( 1) ( )
( ) ( ) ( )
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
k k k k
kk
k k k s k s s
kk
k k k k k k
kk
k
k k k s k s s
k
s
t N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N C B t u t
N x t N C B t u t




Vậy theo nguyên lý qui nạp, công thức (1.1.1.2) được chứng minh.
Từ Bổ đề 1.1 ta có công thức nghiệm sau đây của hệ (1.1.1.1).
Mệnh đề 1.1 ([3])
Giả sử
()Bt
là ma trận hàm và
()ut
vectơ hàm có các thành phần là các hàm khả
vi liên tục đến cấp
h
. Khi ấy nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính suy
biến (1.1.1.1) được tính theo công thức
1
()
0
( ) ( ) ( )
h
k
k
k
x t F t u t
, (1.1.1.3)
trong đó
1
()
( ) ( )
h
s k s k
ks
sk
F t N C B t
-
-
=
=-
å
.
Chứng minh
Viết lại (1.1.1.2) với
1,2, ,kh=
ta được
0
0
( ) ( ) ( ) ( )Nx t x t C B t u t

;
2 0 1
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x t Nx t NC B t u t NC B t u t

  
;
3 2 2 0 2 1 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N x t N x t N C B t u t N C B t u t N C B t u t
 
   
;
……….

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
1
( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( )
1
0
1 ( 1) 1 0 ( 1) 1 1 ( 2)
11
1 ( 1 ) ( ) 1 1 ( 1)
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
k
k k k k k i k i i
k
i
k k k k k k
kk
k i k i i k k k
kk
N x t N x t N C B t u t
N x t N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N C B t u t


………
1
( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( )
1
0
1 ( 1) 1 0 ( 1) 1 1 ( 2)
11
1 ( 1 ) ( ) 1 1 ( 1)
11
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
h
h h h h h i h i i
h
i
h h h h h h
hh
h i h i i h h h
hh
N x t N x t N C B t u t
N x t N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N C B t u t


Cộng vế với vế các đẳng thức này và để ý đến tính chất lũy linh của ma trận
N
,
tức là
0
h
N =
, sau khi nhóm các số hạng ở hai vế, ta được
11
0 ( ) 1 ( 1)
01
1
( ) ( ) 1 ( 1)
1
()
0
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
hh
s s s s
ss
ss
h
s k s k k h h
s
sk
h
k
k
k
x t N C B t u t N C B t u t
N C B t u t N B t u t
x t F t u t


Từ đây suy ra
1
()
0
( ) ( ) ( ).
h
k
k
k
x t F t u t

Vậy Mệnh đề 1.1 được chứng minh.
Trong trường hợp
()B t Bº
là ma trận hằng ta có
Hệ quả 1.1 ([6], trang 17)
Giả sử
()B t Bº
là ma trận hằng và
()ut
vectơ hàm có các thành phần là các hàm
khả vi liên tục đến cấp
h
. Khi ấy nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( )Nx t x t Bu t

(1.1.1.4)
được tính theo công thức
1
()
0
( ) ( )
h
kk
k
x t N Bu t
. (1.1.1.5)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Chứng minh
Khi
()B t Bº
thì
1
()
( ) ( )
h
s k s k k k k
k s k
sk
F t N C B t N C B N B
-
-
=
= - = - = -
å

nên ta có ngay công thức (1.1.1.5).
1.2 Công thức nghiệm của phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính có điều
khiển
Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm cho phương trình vi phân đại số
tuyến tính dạng

( ) ( ) ( ) ( )Ex t Ax t B t u t

. (1.1.2.1)
trong đó ma trận
E
nói chung suy biến (
det E
có thể bằng 0).
Định nghĩa 1.2
Cặp ma trận
,
nn
EA 
được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức


sao cho
0EA
hoặc đa thức
0sE A
.
Bổ đề 1.2 (Bổ đề 1-2.2, [6], trang 7)
Cặp ma trận
( )
,EA
là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không suy
biến
P
và
Q
sao cho
1
0
0
n
I
QEP
N
,
1
2
0
0
n
A
QAP
I
,
trong đó
12
n n n+=
,
1
1
1
nn
A 
,
1
n
I
và
2
n
I
là hai ma trận đơn vị tương ứng
cấp
1
n
và
2
n
;
22
nn
N 
là ma trận lũy linh.
Bổ đề 1.2 chỉ ra rằng với giả thiết chính quy của cặp ma trận
( )
,EA
, hệ
(1.1.2.1) có thể viết dưới dạng sau:

1 1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ), (1.1.2.2 )
( ) ( ) ( ) ( ). (1.1.2.2 )
x t A x t B t u t a
Nx t x t B t u t b


(1.1.2.2)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
Thật vậy, do
( )
,EA
là cặp ma trận chính qui nên tồn tại các ma trận không suy
biến
P
và
Q
sao cho
1
0
0
n
I
QEP
N
,
1
2
0
0
n
A
QAP
I
.
Nhân hai vế của (1.1.2.1) về bên trái với ma trận không suy biến
Q
ta được
( ) ( ) ( ) ( )QEx t QAx t QB t u t

.
Đặt
( ) ( )x t Px t=
%
hay
1
( ) ( )x t P x t
-
=
%
. Khi ấy
( ) ( )x t Px t=
&
&
%
và phương trình trên
có thể viết thành

( ) ( ) ( ) ( )QEPx t QAPx t QB t u t


. (1.1.2.3)
hay
1
1
2
00
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
n
n
IA
x t x t QB t u t
I
N


.
Đặt
1
2
x
x
x
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èø
%
%
%
và
1
2
()
()
()
Bt
QB t
Bt


, khi ấy phương trình trên có dạng
1 1 1 1
1
2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( )
n
n
I x t A x t B t u t
Nx t I x t B t u t







hay
1 1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( )
x t A x t B t u t
Nx t x t B t u t







với
12
12
( ) , ( )
nn
x t x t


và
22
nn
N 
là ma trận lũy linh.
Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận
( )
,EA
là chính qui. Khi ấy để
nghiên cứu hệ (1.1.2.1) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (1.1.2.2).
Hệ (1.1.2.2a) là hệ phương trình vi phân thường có điều khiển. Nó đã được
nghiên cứu kĩ trong các tài liệu về lý thuyết điều khiển. Cụ thể, với mỗi điều kiện

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
ban đầu
0
1
1
n
x 
và mỗi hàm đo được cho trước
()ut
,
0t
, nghiệm của
(1.1.2.2a) có dạng (xem, thí dụ, [2], [4]):
()
0
11
1 1 1
0
( ) ( ) ( )
t
A t A t s
s
x t e x e B s u s ds
. (1.1.2.4a)
Theo Mệnh đề 1.2, nghiệm của hệ (1.1.2.2b) được tính theo công thức
1 1 1
( ) ( ) ( )
22
00
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h h h
k s k s k k
ks
k k s k
x t F t u t N C B t u t
. (1.1.2.4b)
Như vậy, nghiệm
1
2
()
()
()
xt
xt
xt
của (1.1.2.2) tính được tường minh theo công
thức (1.1.2.4a) và (1.1.2.4b). Ta nói nghiệm (1.1.2.4) tương ứng với điều khiển
()ut
đã chọn.
Chúng ta cũng lưu ý rằng, để có được công thức (1.1.2.4b), ta đã phải giả thiết
()Bt
và
()ut
có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp
h
, mặc dù
trong định nghĩa nghiệm của (1.1.2.4a), thì chỉ cần tính chất đo được của hàm
()ut
. Đây cũng là một trong những điểm khác biệt giữa phương trình vi phân
thường và phương trình vi phân đại số.
Hệ quả 1.2
Giả sử
()B t Bº
là ma trận hằng và
()ut
vectơ hàm có các thành phần là các hàm
khả vi liên tục đến cấp
h
. Khi ấy nghiệm của phương trình:

( ) ( ) ( )Ex t Ax t Bu t


có dạng:
()
0
11
1 1 1
0
( ) ( )
t
A t A t s
s
x t e x e Bu s ds


1
()
2
0
( ) ( )
h
kk
k
x t N Bu t
.
Đối với hệ phương trình vi phân đại số (1.1.2.1), ta cũng có một cách tiếp cận
khác thông qua ma trận cơ sở để nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm. Dưới đây
chúng tôi trình bày cách tiếp cận này theo [7].

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
1.3 Công thức nghiệm của hệ phƣơng trình vi phân đại số với ma trận cơ sở
1.3.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số với ma trận cơ sở
Một cách tự nhiên, hệ phương trình vi phân đại số được hiểu là hệ

1 1 1 2 2 1
3 1 4 2 2
( ) ( ) ( ) ( ); (1.1.3.1)
0 ( ) ( ) ( ), (1.1.3.2)
x t R x t R x t f t
R x t R x t f t


trong đó
1
1
()
n
xt 
và
2
2
()
n
xt 
;
i
R
,
1,2,3,4i
và
j
f
(t),
1,2j
là các ma trận
và vectơ có số chiều tương ứng.
Hệ trên gồm một phương trình vi phân thường và một ràng buộc đại số (một
phương trình không chứa đạo hàm của các ẩn
12
,xx
).
Đặt
12
11
34
22
0
; ; ;
00
RR
xf
I
x f E A
RR
xf
,
trong đó
1
n
II
là ma trận đơn vị cấp
1
n
,
0
là các ma trận gồm tất cả các phần tử
bằng 0 có số chiều tương ứng;
A
và
f
là ma trận và vectơ có số chiều tương ứng.
Dưới đây, để cho gọn, ta thường chỉ viết các ma trận đơn vị và ma trận gồm tất cả
các phần tử bằng 0 là
I
và 0 mà không chỉ rõ số chiều của các ma trận.
Với cách đặt trên, hệ (1.1.3.1), (1.1.3.2) có thể viết được dưới dạng:

Ex Ax f
(1.1.3.3)
hay

Ex Ax f

(1.1.3.4)
Nhận xét 1.3.1
Trong các tài liệu, hệ phương trình vi phân đại số thường được đồng nhất với hệ
(1.1.3.4). Tuy nhiên, cách viết (1.1.3.1), (1.1.3.2) chỉ đòi hỏi là
1
x
có đạo hàm.
Cách viết (1.1.3.4) đòi hỏi là
x
có đạo hàm, tức là toàn bộ các tọa độ, hay
2
x

cũng phải có đạo hàm. Từ đó ta thấy, (1.1.3.3) và (1.1.3.4) nói chung là khác
nhau.
Dưới đây, để phù hợp với các tài liệu, ta vẫn gọi hệ (1.1.3.3), (1.1.3.4), trong đó
ma trận
E
có thể suy biến (
det E
có thể bằng 0) là hệ phương trình vi phân đại

Xem chi tiết: Tính điều khiển được hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính