Mô hình hóa dữ liệu đa chiều

B. NỘI DUNG
1. Nền tảng cho cơ sở dữ liệu đa chiều (A Foundation for Multi-
Dimensional Databases)
Tóm tắt
Chúng tôi trình bày mô hình khối dữ liệu đa chiều có thể phục vụ như một mô
hình khái niệm cho các ứng dụng phân tích trực tuyến on line (On-Line Analytical
Processing (OLAP)). Bên cạnh cung cấp các chức năng cần thiết cho các ứng dụng
dựa trên OLAP, nổi bậc của mô hình hỗ trợ sự tách biệt rõ ràng giữa cấu trúc và nội
dung liên quan cho phép chúng ta định nghĩa ngôn ngữ thao tác, cách trong suốt. Cụ
thể chỉ ra rằng thao tác khối(cube) dữ liệu có thể được trình bày dễ dàng. Cụ thể
định nghĩa đại số và phép tính để biểu diễn chúng tương đương. Kết luận bởi việc so
sánh phương pháp tới công việc liên quan.
Khái niệm của mô hình cơ sở dữ liệu đa chiều là trực giao tới sự cài đặc, nó
không phải là chủ đề của bài này.
1.1. Giới thiệu
Gần đây, có sự quan tâm quan trọng trong hệ thống cơ sở dữ liệu đa chiều cho
phân tích thương mại tiến triển và các ứng dụng hỗ trợ quyết định. Codd đưa ra khái
niệm OLAP cho dữ liệu doanh nghiệp biểu diễn trong viễn cảnh đa chiều, thực hiện
phân tích on-line của công thức toán học sử dụng dữ liệu hoặc phức tạp hơn phân
tích thống kê và dữ liệu hợp nhất (consolidating and summarizing data) [Cod93,
CCS93]. Điều đó tin rằng công nghệ cơ sở dữ liệu quan hệ là phù hợp tốt hơn cho
quản lý giao dịch mạnh mẽ. Nói cách khác, OLAP gọi cho phân tích trực tuyến on-
line phức tạp, đôi khi mô hình quan hệ truyền thống tỏ ra hỗ trợ ít. Cung cấp thêm
cần thiết này, một vài máy bán tự động (vendor) thực sự phát triển các sản phẩm
OLAP ví dụ Arbor Software’s Essbase and Oracle Ex- press gọi tên chỉ hai. Nhiều
sản phẩm này chụi sự giới hạn theo:
(i) Ad-hoc(truy vấn bộc phát) và không hỗ trợ ngôn ngữ truy vấn phức tạp tương
tự như SQL;
(ii) Tương tác người sử dụng thường bị giới hạn một thao tác ở một thời điểm.
3
(iii) Khung nhìn dữ liệu trong viễn cảnh đa chiều phức tạp bao gồm thuộc tính
chứa đựng xử lý như các tham chiều và duy trì chúng như là dữ kiện(measures),
phân tích chúng như một “hàm”(“function”) của các tham biến; nhiều sản phẩm xử
lý bất đồng bộ các chiều và dữ kiện cuối cùng.
(iv) Không giống như mô hình quan hệ, không có rõ ràng, thích hợp chung
chung, mô hình khái niệm cho OLAP hoặc cũng được gọi là cơ sở dữ liệu đa chiều
(MDD). Nhiều sự thành công của cơ sở dữ liệu quan hệ có thiết lập logic rõ ràng
cho mô hình dữ liệu, đầu tiên là Codd phát triển và sau đó đông đảo các nhà nghiên
cứu.
Trong phần này chúng tôi đưa ra như sau:
1. Phát triển mô hình khái niệm đơn giản cho OLAP hoặc MDD.
2. Có hỗ trợ kiến trúc bốn tầng cho ngôn ngữ truy vấn OLAP. Chỉ rằng sự tách
biệt liên quan của nội dung chống lại cấu trúc, còn có thể phát triển đơn giản đại số
mạnh mẽ và một tính toán tương đương, cả hai phù hợp đặc trưng xử lý tới tất cả
bốn mức của kiến trúc.
Hình 1.1: một ví dụ bảng hai chiều Sales với các chiều Category và Time. Tập
hợp tham biến kết hợp là: {Part, City} và {Year, Month}, riêng biệt. Thuộc tính dữ
kiện là Cost và Sale;
Minh họa ở trên, chúng ta trình bày trong đại số thao tác khối dữ liệu thông dụng
gần đây hỗ trợ bởi Gray et al.[GBLP95] cũng như hữu dụng và thực hành giá trị thu
hút hơn.
4
Trong phần này tổ chức như sau. Trong đoạn 1.2 trình một sự giới thiệu không
hình thức mô hình dữ liệu cho MDD. Trong đoạn 1.3 và 1.4, trình bày một đại số và
phép tính cho MDD và minh họa năng lực biểu diễn theo các ví dụ. Biểu diễn cả hai
ngôn ngữ tương đương trong khả năng biểu diễn.
1.2. Mô hình dữ liệu đa chiều(Multi-Dimensional Data Model)
Từ quan điểm nhận thức, OLAP được gọi cho 4 loại cơ bản sau:
1. Truy vấn(Querying): khả năng đưa ra truy vấn bộc phát một sự đơn giản giao
diện khai báo.
2. Cấu trúc lại(Restrucring): khả năng cấu trúc lại thông tin trong sự bùn nổ cơ
sở dữ liệu đa chiều của dữ liệu và đưa ra(bring out) phối cảnh khác của dữ liệu.
3. Sự phân loại(Classifition): khả năng phân loại hoặc nhóm tập dữ liệu trong
phong cách thích hợp cho tổng kết theo sau:
4. Tổng kết(Summarization/Consolidation): Đây là tổng quát hóa của các phép
toán đại số trong chuẩn SQL. Tổng quát summarization ánh xạ đa tập(multisets) của
giá trị của một kiểu số tới một kiểu chuỗi(single), giá trị“hợp nhất”.
Chúng tôi truy tìm một mô hình khái niệm và ngôn ngữ truy vấn đó là có thể hỗ
trợ tất cả các chức năng ở trên và cho phép chúng tương tác với mỗi đối tượng khác
kiểu liền mảnh(seamless).
Cấu trúc dữ liệu cơ bản của dữ liệu đa chiều là cái chúng tôi gọi là bảng n
chiều(n-dimensional table). Trước tiên đưa ra trực giác bên cạnh nó. Chúng ta mong
ước có thể nhìn giá trị thuộc tính chắc chắn như một “chức năng” khác, trong bất kỳ
cái cách nào phù hợp với chúng, khả năng bùn nổ vữa lót(rendering) đa chiều. Vẽ
trên thuật ngữ của dữ liệu thông kê, chúng ta có thể phân loại tập thuộc tính kết hợp
với lược đồ của một bảng vào trong hai loại: tham biến và dữ kiện. Không có sự
phân biệt ưu tiên(priori) giữa tham biến và dữ kiện trong thuộc tính bất kỳ đó có
chọn lựa vai trò. Một ví dụ bảng hai chiều được cho trong hình 1.1.
Ở mức khái niệm, chúng ta cần mô hình của chúng ta duy trì thân thiện mô hình
quan hệ chuẩn nếu có thể, do đâu thân dôi ra(rich body) của lý thuyết và công nghệ
phát triển tốt cho mô hình quan hệ sẽ lúc đó dồn cho mô hình OLAP Một cách tự
nhiên thực thi đối tượng này là thừa nhận đó chiều của các bảng là một đặc trưng
cấu trúc vốn có, cái mà đầy đủ ý nghĩa nhất khi bảng là đưa tới cho người dùng. Nội
5
dung thực tế của bảng là trực giao cần thiết cho việc kết hợp cấu trúc, nghĩa là sự
phân tán của các thuộc tính lên trên các chiều và dữ kiện. Việc phân tách cả hai đặc
tính dẫn đến view quan hệ của một bảng. Ví dụ đầu vào trong “ô”đầu tiên(tức là đầu
cực trái) của bảng trong hình 1.1 đầu vào chứa (5, 6) tương ứng với bộ (PC,
Montreal, 1996, Jan, 5,6) trên lược đồ {Part, City, Year, Month, Cost, Sale}trong
view quan hệ của bảng đó.
Hình 1.2: view khái niệm của bảng hình 1.1. Cấu trúc lưu trữ thực sự và sự thực
thi không cần quan hệ.
Chúng ta bây giờ chính thức mô tả không hình thức ở trên, trong định nghĩa của
một bảng n chiều.
Như thường lệ, chúng tôi giả sử hai tập hợp các ký hiệu phân biệt và vô hạn: N là
một tập hợp tên và V là tập hợp các giá trị.
Định nghĩa 1.2.1 (lược đồ bảng và thể hiện-Table Schemas and
Instances)
Một lược đồ bảng (Table Schema) n chiều là một bộ ba <D, R, par> ở đây
D={ d
1
, , d
n
} là một tập hợp các tên chiều, R={A
1
, , A
m
} là tập các thuộc tính và
par: D → 2
{
1
A
, ,
m
A
}
, thoả mãn
(i) Với mọi i,j=1, ,n, i
≠
j, par(d
i
)
I
par(d
j
) =
∅
và
(ii)
U
d
∈
D
par(d)
⊆
R
Chúng ta thường ký hiệu par(d
i
) bởi X
i
Cho M = R –
1 i n
≤ ≤
U
X
i.
Một thể hiện(instance) của một bảng lược đồ n chiều
<D, R, par> là một tập hợp n + 1 quan hệ hữu hạn theo dạng rd
1
(Tid, X
1
), ,
rd
n
(Tid, X
n
), r
m
(rd
1
.Tid, , rd
n
.Tid, M), thoả mãn
6
(i) Sự kết hợp
Tid 1 Tid n
(rd ) (rd )π × ×π
bằng
)(
., ,.
1
rm
TidrdTidrd
n
π
, nghĩa là với
mỗi sự kết hợp của các giá trị Tid trong các quan hệ rd
1
,

, rd
n
, có ít nhất một bản
ghi tương ứng trong rm, và mỗi bản ghi trong rm tương ứng với một số sự kết hợp
của các giá trị Tid trong các quan hệ rd
1,
rd
n
;
(ii) Với mọi i = 1, , n, Tid là một khoá của quan hệ rd
i
; và
(iii) với mọi i,j=1, ,n, i
≠
j,
Tid i Tid j
(rd ) (rd )
π π =∅
I
, nghĩa là các giá
trị Tid trong các quan hệ khác nhau rd
i
và rd
j
là rời nhau.
Như vậy, một cơ sở dữ liệu được xếp thành bảng đa chiều (MDD–Multi
Dimensional Databasse) là một tập các bảng.
Trong định nghĩa 1.2.1, một bảng có một tập R gồm m thuộc tính và n chiều (n
≥
0) d
1
, , d
n
kết hợp với nó. Mỗi chiều được mô tả bởi một tập hợp con riêng biệt
của các thuộc tính từ R, gọi là các tham số của chiều đó. Các thuộc tính trong R mà
chúng không phải là tham số của bất kỳ chiều nào thì chúng được gọi là các thuộc
tính dữ kiện của bảng.
Bằng trực giác, chúng ta có thể xem các bản ghi trong các quan hệ rd
1
, , rd
n
như
là “các tọa độ”(coordinates) trong các chiều d
1
, , d
n
theo thứ tự định sẵn. Từ quan
điểm này, một bảng có thể được xem như là sự kết hợp của một tập các bộ trên các
thuộc tính dữ kiện với mỗi điểm (t
1
, , t
n
) trong không gian n chiều, ở đây i=1, , n,
t
i
là giá trị T
id
duy nhất kết hợp với một bộ trong quan hệ rd
i
. Ngược lại, với mỗi bản
ghi (t
i
,
i i
a ) rd∈
ur
, chúng ta nói rằng
i
a
ur
là bộ X
i
đã trình bày bởi t
i.
Rõ ràng rằng, Các quan hệ truyền thống tương ứng với tất cả các bảng 0 chiều
của các thuộc tính của chúng về cơ bản là các thuộc tính dữ kiện.
Chúng ta đồng ý khung nhìn khái niệm của bảng đa chiều là hoàn toàn độc lập
với cấu trúc lưu trữ hoặc chỉ đạo thực thi sử dụng cho các bảng này.
Ví dụ 1.2.1 xem lược đồ bảng hai chiều Sales = ( {Category, Time}, {Part,
City, Year, Month, Cost, Sale}, par), ở đây par(Category) = {Part, City} và
par( Time) = {Year, Month}. Một thể hiện của lược đồ này bao gồm 3 quan hệ
rCategory(Tid, Part, City),
rTime(Tid, Year, Month), và
rm((r)C(ategory).Tid, (r)T(ime).Tid, Cost, Sale) là biểu diễn trong hình 1.2. được
hiển thị trong hình 1.2. Thể hiện này thực sự thoả mãn các ràng buộc trong định
7
nghĩa 1.2.1. Bảng thể hiện này thực sự tương ứng với bảng được chỉ ra trong hình
1.2.1.
Chúng ta biểu diễn Tiếp theo rằng mọi bảng MDD có thể biểu diễn chính xác bởi
quan hệ truyền thống và ngược lại trong trực giác đó chúng ta hẳn làm chính xác ở
mức dưới. Chúng ta cần kết quả kết quả trong đoạn 1.3 để phát triển ngữ nghĩa đơn
giản cho mỗi phép toán đại số cổ điển.
Trước khi chúng ta có thể biểu kết quả trên, chúng tôi phải giới thiệu khái niệm
đầy đủ của quan hệ với lược đồ bảng.
Định nghĩa 1.2.2(Đầy đủ-Completion)
Cho r(A
1
, , A
m
) là một quan hệ và S = <D, {A
1
, , A
m
}, par> là một lược đồ
bảng. Như thường lệ, chúng ta ký hiệu X
i
=par (d
i
). Thì sự đầy đủ(completion) của r
với mối liên hệ S, ký hiệu
S
r
, được định nghĩa là quan hệ nhỏ nhất thoả mãn.
(i)
r ⊆

S
r
và
(ii) Với tất cả các sự kết hợp của bộ
n
aa ,,
1
, với mọi i =1, , n,
i
a
uv
ở trong
i
X
π
(r), nhưng (
n
aa ,,
1
) không ở trong
1 n
X , X
,π
(r), chúng ta thấy rằng (
1 n
a , ,a
u uuv v
,
⊥
uv
) ở trong
S
r
. Ở đây
⊥
uv
là một bộ gồm |M| ký hiệu
⊥
tương ứng với các thuộc tính
dữ kiện.
Bằng trực giác, quan hệ r ở trên là tương đương với
S
r
đầy đủ (completion) của
nó: Các ký hiệu
⊥
thêm vào ở đó chỉ đơn thuần là do các giá trị rỗng không thích
hợp trong việc biểu diễn dữ liệu đa chiều.
Cho R là lược đồ quan hệ, và S = <D, R, par> là một lược đồ bảng. Cho
ℜ
(R)
là lớp của tất cả các quan hệ hữu hạn trên R và T(S) là lớp của tất cả của các thể
hiện của bảng lược đồ S. Cuối cùng, cho
s
R(R)
= {
S
r
| r
∈

ℜ
(R) }. Chúng ta nói
rằng lược đồ bảng S biểu diễn chính xác lược đồ quan hệ R (và ngược lại)đã cho và
có sự tương ứng 1 – 1 từ lớp của các bảng T(S) đến lớp của các quan hệ
s
R)(
ℜ
.
Định lý 1.2.1 Cho R là lược đồ quan hệ, và cho S = <D, R, par> là lược đồ bảng.
Thì R biểu diễn chính xác S (và ngược lại).
8
Từ chứng minh của định lý 1.2.1, chúng ta duy trì sử dụng lần sau tồn tại 1-1
hàm f từ T(S) đến
s
R(R)
, điều đó có thể được tính toán có hiệu quả. Vì vậy, hàm
ngược của nó là g cũng có thể tính toán được.
Theo định lí trên thì tất cả các toán tử truyền thống từ đại số quan hệ có thể có
quan hệ trực tiếp đến cấu trúc của các bảng đa chiều, xét cho cùng thì kết quả của
các toán tử được biểu diễn thành bảng là thích hợp với việc các quan hệ đã biểu diễn
bằng cơ sở dữ liệu được xếp thành bảng ban đầu. Ý tưởng này sẽ được phát triển
trong phần sau.
1.3.Toán tử đại số(Algebra)
Trong đoạn này, chúng tôi phát triển một phép toán đại số cho dữ liệu đa chiều.
Trước khi tiến hành với trình bày toán tử đại số thực sự, đầu tiên chúng ta minh
họa bằng một ví dụ đó tiếp cận trực tiếp với định nghĩa các toán tử đại số sẽ dẫn đến
sự phức tạp không cần thiết.
Ví dụ 1.3.1 Xét bảng hiển thị trong hình 1.1. Giả sử chúng ta gán sự phân chia
bảng tương ứng tới sự thực hiện của PC trong năm 1996. Thao tác ảnh hưởng như
số lượng của thao tác trong OLAP là được tham chiếu như lát cắt hình vuông. Bảng
kết quả là được hiển thị trong hình 1.3.
Một định nghĩa trực tiếp của sự lựa chọn này bao gồm phép lựa chọn tọa độ
Category của form (PC, _C) cho giá trị thành phố -C và phép chọn tọa độ Time của
form (1996, _M) cho giá trị tháng _M và nữa nối cả hai cho quan hệ rm. Một sự
chọn quan hệ trở nên phức tạp nếu chuyển trực tiếp tới các bảng MDD. Hơn nửa
nếu sự lựa chọn bao gồm các thuộc tính dữ kiện, định nghĩa của nó hơi khác và bất
đối xứng ở trên. Một định nghĩa trực tiếp sự lựa chọn bao gồm các tham biến và dữ
kiện thậm chí phức tạp hơn. Người đọc có thể dễ dàng hình dung sự phức tạp trong
trường hợp nối giữa hai bảng MDD.
9
Hình 1.3 kết quả của một toán tử lát cắt hình vuông trên bảng ở hình 1.1. Lát cắt
hình vuông chỉ là một trường hợp đặc biệt của phép chọn quan hệ đã mở rộng cho
các bảng MDD.
Vì một tiếp cận trực tiếp định nghĩa các phép toán đại số cổ điển sẽ kết quả phức
tạp. Mục tiêu của chúng ta là đạt được sự đơn giản và ngôn ngữ thanh lịch gần gũi
với view khái niệm của các bảng MDD hơn là định nghĩa hình thức của chúng.
Chúng ta sẽ thu được định nghĩa đơn giản của các phép toán đại số bởi việc bùn nổ
tương ứng 1-1 giữa các bảng quan hệ thiết lập trong định lý 1.2.1, tức là các hàm f
và g, bằng cách tách nội dung từ sự liên quan cấu trúc. Cho S=<D, R, par> là lược
đồ bảng. Nếu T là một biểu hiện bảng với lược đồ S, chúng ta biểu diễn sự miêu tả
quan hệ f(T), một lược đồ quan hệ với lược đồ R bởi rep(T). Ngược lại, nếu r là một
quan hệ với lược đồ R thì sự biểu diễn dưới dạng bảng của nó là một bảng thể hiện
của lược đồ S chính là g(r) và được kí hiệu là tab
s
(r).
Định nghĩa 1.3.1 (Classical Algebraic Operators)
1. Các toán tử một ngôi: Cho T là một thể hiện với lược đồ S = <D, R, par>, và
op là phép chọn
C
σ
, phép chiếu
X
π
, hoặc phép đổi tên
B A
ρ
¬
, ở đây C là điều kiện
của phép chọn và X là tập các thuộc tính còn A, B là tên các thuộc tính. Chúng ta
định nghĩa op(T) = tab
s
(op(rep(T)).
2. Phép hợp, phép giao và phép hiệu: Cho T
1
và T
2
là các thể hiện dạng bảng,
cả hai cùng lược đồ S và cho op là phép hợp
∪
, phép giao
∩
, hoặc phép hiệu \.
Chúng ta định nghĩa
T
1

op T
2
= tab
s
(rep(T
1
) op rep(T
2
)), ở đây S=S
1
=S
2
.
3. Tích Đề Các: Cho T
1
và T
2

là hai bảng với các lược đồ S
1
=<D
1
, R
1,
par
1
> và
S
2
=<D
2
, R
2,
par
2
>, và giả sử D
1
∩
D
2
=
∅
và R
1
∩
R
2
=
∅
. Chúng ta định nghĩa lược
10
đồ của tích đề các T
1

×
T
2
là S = <D
1
∪
D
2
, R
1
∪
R
2
, par
1
∪
par
2
> và thể hiện là
tab
s
(rep(T
1
)
×
rep(T
2
)).
Chú ý
(i) Tính đơn giản so sánh định nghĩa các phép toán với tiếp cận trực tiếp và
(ii) Xử lý đối xứng của tham biến và dữ kiện.
Thêm vào đó các phép toán ở trên biến đổi chủ yếu nội dung của bảng, chúng tôi
giới thiệu hai phép toán cấu trúc lại (restructuring) nó chỉ ảnh hưởng đến cấu trúc
của bảng. Sử dụng này có thể giảm hoặc tăng vào các tham biến từ một chiều hoặc
thay đổi trạng thái của thuộc tính từ tham biến đến dữ kiện hoặc ngược lại trong khi
lưu trữ nội dung thông tin.
Định nghĩa 1.3.2 (Restructuring Operators)
1. Unfold: Cho T là một bảng với lược đồ S = <D, R, par>, cho d là tên mới N
không xuất hiện ở đâu ngoài T ,
MX
⊆
là tập thuộc tính dữ kiện. Chúng ta định
nghĩa unfold
d
x
(T) như một bảng với lược đồ S’ = <D ⋃{d}, R, par’>, ở đây tất cả d
i
trong D, par’(d
i
) = par(d
i
), par’(d) = X, và với trường hợp(with instance)
tab
s’
(rep(T)).
2. Fold: Cho T là một bảng với lược đồ S = <D, R, par>, và cho d là một chiều
của D. Chúng ta định nghĩa fold
d
(T) như một bảng với lược đồ S’=<D\ {d},
R,par’>, ở đây với mọi d
i
trong D\{d}, par’(d
i
) = par(d
i
), và với trường hợp (with
instance) tab
s’
(rep(T)).
Chú ý tính đơn giản của các định nghĩa toán tử và sự giải quyết giống nhau của
các tham số và các dữ kiện. Ví dụ sau là minh hoạ cho định nghĩa các toán tử trên.
Ví dụ 1.3.2. Hình 1.4 minh họa một ứng dụng của phép toán fold và unfold

Hình 1.4. Đầu ra của biểu thức
11

Location Component
City Part
(Unfold (Unfold ( ( ))))
Time Category
fold fold Sales
áp dụng cho bảng Sales
đầu vào ở hình 1.1. Bảng kết quả hiển thị Year, Month, Cost, và Sale như một dữ
kiện của Part và City. Nó có hai chiều Location và Component, với các tham số City
và Part riêng biệt.
Sự phân loại liên quan phép toán. Sự phân loại là sự tổng quát hóa của nhóm
SQL quen thuộc bởi phép toán. Ví dụ theo sau trình bày thực hành tiêu biểu sự phân
loại bao gồm truy vấn xuất hiện.
Ví dụ 1.3.3 Xét một quan hệ cổ phần(Stocks) với lược đồ {Ticker, Day, Price,
Vol}, chứa giá đóng và volume của giao dịch(trading) cổ phần khác nhau trong trao
đổi cổ phần ở New York. Truy vấn đưa lên thực hành tiêu biểu là được tìm thấy giá
đóng trung bình thay đổi 3 ngày cho mỗi cổ phần. Dù là truy vấn này bao gồm sự
kết tập, chú ý rằng nó cũng bao gồm phân loại dữ liệu vào trong các nhóm thay đổi
theo điều kiện chắc chắn trứơc khi sự kết tập là được áp dụng. Cụ thể truy vấn ở
trên bao gồm sự phân loại việc sử dụng một cửa sổ ba ngày.
Một trường hợp khác của cửa sổ phân loại của bề rộng thay đổi (ví dụ trung bình
tích lũy) hoặc cửa sổ của bề rộng dữ liệu phụ thuộc (ví dụ giá cổ phần trung bình
tương ứng đến thời kỳ cổ phần tăng(bullish)) là cũng được phủ bởi sàn(framework).
Chúng tôi chính thức hóa kế tiếp biểu diễn sự phân loại, địa chỉ đầu trong ngữ
cảnh của quan hệ
Định nghĩa 1.3.3 (phân loại quan hệ-Classification on Relations)
Cho R={A
1
, …, A
m
} là lược đồ quan hệ và X = {A
l
, , A
k
} là tập con tùy ý của
R. Hàm phân loại trên X cho quan hệ R là hàm

)( )(
1
1
2)( )()(:
k
AdomAdom
k
AdomAdomRf
××
→×××ℜ
Cho r là một quan hệ với lược đồ R, và f là hàm phân loại trên X cho quan hệ R.
Chúng ta định nghĩa phép toán phân loại K(r, f) khi quan hệ với lược đồ.
(f.A
1
, …, f.A
k
, A
1
, …, A
k
, A
k+1
, A
m
)
Và trường hợp cụ thể(instance)
{(a
l
, ,a
k
, a’
1
, ,a’
k
, a’
k+l
, , a’
m
) |
(a’
1
, , a’
k
)
∈
f (r, a
l
,. . . , a
k
)
∧
(a’
1
, ,a’
k
, a’
k+1
, , a’
m
)
∈
r}.
Phân loại ánh xạ thiết yếu các bộ của quan hệ một hoặc nhiều (vì vậy, rời rạc là
không cần thiết) nhóm. Trực quan, chúng ta nghỉ các thuộc tính f.A
1
, . . . , f.A
k
tương ứng ”nhóm id”. Vì vậy một bộ (a
l
, ,a
k
, a’
1
, ,a’
k
, a
k+l
, , a’
m
) trong quan hệ đã
12

Xem chi tiết: Mô hình hóa dữ liệu đa chiều