Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 5 -
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.
Một số cung góc hay dùng khác:
(
)
(
)
sin x k2 sin x
cos x k2 cos x
+ π =
+ π =
và
(
)
(
)
( )
sin x k2 sin x
k
cos x k2 cos x
+ π + π = −
∈
+ π + π = −
ℤ
.
A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Dạng:
u v k2
sin u sin v
u v k2
= + π
= ⇔
= π − + π
Đặc biệt:
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
= ⇒ = π
π
= ⇒ = + π
π
= − ⇒ = − + π
Dạng:
u v k2
cos u cos v
u v k2
= + π
= ⇔
= − + π
Đặc biệt:
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
cos x 1 x k2
π
= ⇒ = + π
= ⇒ = π
= − ⇒ = π + π
Dạng:
tan u tan v u v k
Ðk : u,v k
2
= ⇔ = + π
π
≠ + π
Đặc biệt:
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
= ⇔ = π
π
= ± ⇔ = ± + π
Dạng:
cotu cotv u v k
Ðk : u,v k
= ⇔ = + π
≠ π
Đặc biệt:
cot x 0 x k
2
cot x 1 x k
4
π
= ⇔ = + π
π
= ± ⇔ = ± + π
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
− + − = ∗ ∀ ∈
Bài 2. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x
− + = − ∗
Bài 3. Giải phương trình:
(
)
cos 3x cos2x cos x 1 0
+ − − = ∗
Bài 4. Giải phương trình:
(
)
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0
+ + + + = ∗
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)
2 sin x 1 cos2x sin 2x 1 cos x
+ + = + ∗
Bài 6. Giải phương trình:
( )
1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
π
+ = − ∗
π
−
Bài 7. Giải phương trình:
( )
4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π
+ = + − ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 6 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài 8. Giải phương trình:
( )
4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
π π
− +
Bài 9. Giải phương trình:
( )
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
π π
− = +
Bài 10. Giải phương trình:
( )
sin 3x sin2x sin x 1
4 4
π π
− = +
Bài 11.
( )
3
8 cos x cos 3x 1
3
π
+ =
Bài 12. Giải phương trình:
( )
3
2 sin x 2sin x 1
4
π
+ =
Bài 13. Giải phương trình:
( )
3
sin x 2 sin x 1
4
π
− =
Bài 14. Giải phương trình:
(
)
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0
+ + + = ∗
Bài 15. Giải phương trình:
( )
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗
.
Bài 16. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2
+ + = ∗
.
Bài 17. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x
+ = + ∗
Bài 18. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x
− = − ∗
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
π
+ = + − ∗
Bài 20. Giải phương trình:
(
)
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x
= + ∗
Bài 21. Giải phương trình:
(
)
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x
+ − = ∗
Bài 22. Giải phương trình:
(
)
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x
+ + = + + ∗
Bài 23. Giải phương trình:
(
)
3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x
+ = ∗
Bài 24. Giải phương trình:
(
)
2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x
+ + = + ∗
Bài 25. Giải phương trình:
(
)
3 3 2
4 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 0
+ − − = ∗
Bài 26. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3
+ + − + = ∗
Bài 27. Giải phương trình:
(
)
(
)
6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗
Bài 28. Giải phương trình:
(
)
( )
8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗
Bài 29. Giải phương trình:
(
)
(
)
3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x
+ = + ∗
Bài 30. Giải phương trình:
(
)
4 2 2 4
3cos x 4 cos x sin x sin x 0
− + = ∗
Bài 31. Giải phương trình:
( )
3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 7 -
Bài 32. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗
Bài 33. Giải phương trình:
(
)
3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x
= + − ∗
Bài 34. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x
2
+ + + + = − ∗
Bài 35. Giải phương trình:
( )
sin2x 2cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+
Bài 36. Giải phương trình:
( )
2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Bài 37. Giải phương trình:
(
)
(
)
tan x cot x 2 sin2x cos2x
+ = + ∗
Bài 38. Giải phương trình:
(
)
2
tan x tan x tan 3x 2
− = ∗
Bài 39. Giải phương trình:
( )
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Bài 40. Giải phương trình:
( )
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
π
− − = ∗
Bài 41. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin2x cot x tan2x 4cos x
+ = ∗
Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
cot x tan x
16 1 cos 4x
cos2x
−
= + ∗
Bài 43. Giải phương trình:
( )
1
2 tan x cot2x 2 sin2x
2 sin 2x
+ = + ∗
Bài 44. Giải phương trình:
(
)
( ) ( )
3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
− + = ∗
−
Bài 45. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−
Bài 46. Giải phương trình:
(
)
cos 3x tan 5x sin 7x
= ∗
Bài 47. Giải phương trình:
( )
1 1
sin2x sin x 2 cot x
2 sin x sin 2x
+ − − = ∗
Bài 48. Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
sin x cos x 1
tan x cot2x
sin 2x 2
+
= + ∗
Bài 49. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x
= − + ∗
Bài 50. Giải phương trình:
( )
x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
+ + = ∗
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 8 - www.DeThiThuDaiHoc.com
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung
x,2x,3x
, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một
cung. Nhưng đưa về cung
x
hay cung
2x
? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan
niệm sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung
x,2x,3x
, ta nên đưa về cung
trung gian
2x
nếu trong biểu thức có chứa sin
2
x (hoặc cos
2
x). Còn không chứa sin
2
x (hoặc
cos
2
x), nên đưa về cung
x
".
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 4 2 cos x 1 3 cos x 4 0 4 cos x 8 cos x 0
∗ ⇔ − − − + − = ⇔ − =
( )
(
)
(
)
( )
2
cos x 0 N
4 cos x cos x 2 0 x k , k
cos x 2 L 2
=
π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ∈
=
ℤ
.
0,5 k 3,9
3 5 7
Do x 0;14 , k 0 k 14 x ; ; ;
k
2 2 2 2 2
− ≤ ≤≈
π π π π π
∈ ∈ ⇔ ≤ + π ≤ ⇔ ⇒ ∈
∈
ℤ
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x 2 sin x cos x sin x
∗ ⇔ − + = −
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x sin x 2 cos x 1 0
⇔ − + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2sin x cos x sin x 0 2 cos x 1 sin x cos x 0
⇔ − + − = ⇔ − + =
( )
x k2
2 cos x 1 0
cos x cos
3
k;l
3
sin x cos x 0
tan x 1
x l
4
π
π
= ± + π
− =
=
⇔ ⇔ ⇔ ∈
+ = π
= −
= − + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
3x
và
2x
, chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos
Bài giải tham khảo
(
)
3 2 3 2
4 cos x 3 cos x 2 cos x 1 cos x 1 0 2 cos x cos x 2 cos x 1 0
∗ ⇔ − + − − − = ⇔ + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
cos x 2 cos x 1 2 cos x 1 0 2cos x 1 cos x 1 0
⇔ + − + = ⇔ + − =
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
cos 3x 4 cos2x 3 cos x 4 0 , x 0;14
− + − = ∗ ∀ ∈
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2002
Bài 2. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2 cos x 1 2 sin x cos x sin 2x sin x
− + = − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2004
Bài 3. Giải phương trình:
(
)
cos 3x cos2x cos x 1 0
+ − − = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2006
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 9 -
Bài 4. Giải phương trình:
(
)
sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0
+ + + + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
( ) ( )
2
sin x 0 x k
2 cos x 1 sin x 0 k;l
1 2
cos x x l2
2 3
= = π
⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈
π
= − = ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
2
sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x 0
∗ ⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 cos x 0
⇔ + + =
( )
sin x cos x tan x 1
x k
4
k;l
1 2
2
cos x cos x cos
x l2
2 3
3
π
= − = −
= − + π
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
π
= − =
= ± + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung
2x
và cung
x
mà ta nghĩ đến việc chuyển cung
2x
về cung
x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
(
)
(
)
2
sin x 1 2 cos x 1 2sin x cos x 1 cos x
∗ ⇔ + − + = +
(
)
(
)
2
2 sin x cos x 2sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 co
s x 0
⇔ + = + ⇔ + − + =
( )( ) ( )
2
1
x k2
cos x
3
cos x 1 sin2x 1 0 k, l
2
sin2x 1
x l
4
π
= ± + π
= −
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
π
=
= + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
π
−
và
7
x
4
π
−
giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là
x
. Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung:
(
)
sin a b sin a.cos b cos a.sin b
± = ±
Bài 6. Giải phương trình:
( )
1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
π
+ = − ∗
π
−
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)
sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x
+ + = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 10 - www.DeThiThuDaiHoc.com
( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
π π
∗ ⇔ + = −
π π
−
( )
1 1 2
4. sin x cos x
sin x cos x 2
⇔ + = − +
Điều kiện:
sin x cos x 0 sin2x 0
≠ ⇔ ≠
.
( )
sin x cos x
2 2 sin x cos x
sin x cos x
+
⇔ = − +
(
)
(
)
sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0
⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin2x 0
⇔ + + =
( )
x k
4
tan x 1
sin x cos x 0
x l k, l, m
2
8
1 2 sin2x 0
sin2x
52
x m
8
π
= − + π
= −
+ =
π
⇔ ⇔ ⇔ = − + π ∈
+ =
= −
π
= + π
ℤ
.
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4
2
π π
− = − π − − =
π π π
− = π − + = − + = − +
( ) ( )
1 1 1
4. sin x cos x
sin x cos x
2
∗ ⇔ + = − +
. Giải tương tự như cách giải 1.
Lời bình: Từ tổng hai cung
x x
3 6 2
π π π
+ + − =
giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
π π π π π π π
+ − = + − + = + + =
.
Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức:
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = −
. Nếu
không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan
cos
cot
sin
=
, rồi qui đồng thì bài toán
trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện.
Bài giải tham khảo
ĐK:
sin x 0
13
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 0
3 6 2 6 6
sin x 0
6
π
+ ≠
π π π π
⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠
π
− ≠
.
Bài 7. Giải phương trình:
( )
4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π
+ = + − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 11 -
( ) ( )
2 2
1 7 1 1 k
1 sin 2x sin 2x 1 cos 4x x , k
2 8 4 2 12 2
π π
∗ ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
ĐK:
cos x 0
14
cos x cos x 0 cos2x cos 0 cos2x 0
4 4 2 2
cos x 0
4
π
− ≠
π π π
⇔ − + ≠ ⇔ + ≠ ⇔ ≠
π
+ ≠
.
Ta có:
tan x tan x tan x tan x tan x cot x 1
4 4 4 2 4 4 4
π π π π π π π
− + = − − + = − − =
.
( )
(
)
2 4 2 4 4 2
1 1
1 sin 4x cos 4x 1 1 cos 4x cos 4x 2cos x cos 4x 1 0
2 2
∗ ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − − =
(
)
( )
2
2 2
2
2
t 1 N
2t t 1 0
1
cos 4x 1 sin 4x 0 sin 4x 0
t L
t cos 4x 0
2
t cos 4x 0
=
− − =
⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
= −
= ≥
= ≥
(
)
(
)
( )
sin2x 0 N
k
x , k
cos2x 0 L 2
=
π
⇔ ⇔ = ∈
=
ℤ
.
Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công thức cộng theo tan như sau
tan tan x tan tan x
1 tan x 1 tan x
4 4
tan x .tan x . . 1
4 4 1 tan x 1 tan x
1 tan tan x 1 tan tan x
4 4
π π
− +
π π − +
− + = = =
π π + −
+ −
.
Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng
cung của chúng, ……. nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta hãy xem
giữa hai cung
3 x
10 2
π
−
và
3x
10 2
π
+
có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
π π π π
+ = π − + = − = −
. Từ đó, ta sẽ
đặ
t
3 x
t
10 2
π
= −
và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất.
Bài 8. Giải phương trình:
( )
4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
π π
− +
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Xây Dựng năm 1997
Bài 9. Giải phương trình:
( )
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
π π
− = +
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thủy Lợi năm 2001
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 12 - www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài giải tham khảo
Ta có:
3x 3x 9 3x 3 x
sin sin sin sin 3
10 2 10 2 10 2 10 2
π π π π
+ = π − + = − = −
.
( ) ( )
3 x 1 3 x
1 sin sin 3 2
10 2 2 10 2
π π
⇔ − = −
.
Đặt
3 x
t
10 2
π
= −
. Và
( )
(
)
(
)
3 2
1 1
2 sin t sin3t sin t 3sin t 4sin t sin t 1 sin t 0
2 2
⇔ = ⇔ = − ⇔ − =
( )
3 x 3
t k
k x k2
sin t 0
10 2 5
k, l
cos t 0 3 x 2
t l
l x l2
2
10 2 2 5
π π
= π
− = π = − π
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
= π π π
= + π
− = + π = − π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Ta có:
3
sin 3x sin 3x sin 3x sin 3x sin 3 x
4 4 4 4 4
π π π π π
− = − − = − π − − = − + = − +
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó
( )
1 sin 3t sin 2t .sin t
2
π
⇔ − = −
3
2 2 2
sin t 0 sin t 0
4 sin t 3 sin t cos 2tsin t 0
4 sin t 3 1 2 sin t 0 sin t 1
= =
⇔ − + = ⇔ ⇔
− + − = =
( )
t k
x k
sin t 0
4
x m , k,l, m
cos t 0
4 2
t l
x l
2
4
π
= π
= − + π
=
π π
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − + ∈
π
= π
= + π
= + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Ta có:
( )
cos 3x cos 3x cos 3 x
3
π
= − π + = − +
.
Phương trình:
( ) ( )
3
1 8cos x cos 3 x 2
3 3
π π
⇔ + = − +
.
Đặt
t x
3
π
= +
. Lúc đó:
(
)
3 3 3
2 8 cos t cos 3t 8 cos t 4 cos t 3 cos t
⇔ = − ⇔ = − +
(
)
(
)
3 2
12 cos t 3 cos t 0 cos 3t 4 cos t 1 0 cos 3t 2 cos 2t 1 0
⇔ − = ⇔ − = ⇔ + =
Bài 11. Giải phương trình:
( )
3
8 cos x cos 3x 1
3
π
+ =
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1999
Bài 10. Giải phương trình:
( )
sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
π π
− = +
Trích đề thi tuyển sinh Học Viện Bưu Chính Viễn Thông năm 1999
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 13 -
( )
t k
x k
2
cos 3t 0
6
t l x l k; l; m
1
3
cos2t
2
2
x m
t m
3
3
π
= + π π
= + π
=
π
⇔ ⇔ = + π ⇔ = π ∈
= −
π
π
= + π
= − + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó:
( )
3 3
1 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
π
⇔ = − ⇔ = −
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2
sin t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t
⇔ = − ⇔ = + − •
(
)
2 2
cos t sin t sin t cos t cos t 0
⇔ − + − =
(
)
(
)
( )
cos t 0 N
1
cos t sin 2t 1 0 t k x k , k
sin 2t 2 L2 2 4
=
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
=
ℤ
.
Lời bình: Trong
(
)
•
, tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức
2 2
1 sin t cos t
= +
. Vậy trong giải
phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn
giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép
2 2
1 sin t cos t
= +
để phương trình trở nên đơn giản hơn ".
Cách giải 2.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
π
⇔ + = ⇔ + =
(
)
(
)
(
)
3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x
⇔ + = ⇔ + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x
⇔ + + =
2 2
3 sin x 2 cos x sin x 2sin x cos x cos x 0
⇔ − + + + =
(
)
(
)
2 2
sin x 3 2 cos x cos x 2sin x 1 0
⇔ − + + + =
(
)
(
)
2 2
sin x 2sin x 1 cos x 2 sin x 1 0
⇔ − + + + =
( )
( )
(
)
2
2
0 2 sin x 1 0 VN
2 sin x 1 cos x sin x 0
cos x sin x 0
= + >
⇔ + − = ⇔
− =
( )
tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ⇔ = + π ∈
ℤ
.
Cách giải 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
π
⇔ + = ⇔ + =
Bài 12. Giải phương trình:
( )
3
2 sin x 2 sin x 1
4
π
+ =
Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998
Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 14 - www.DeThiThuDaiHoc.com
(
)
(
)
3
sin x cos x 4 sin x 2
⇔ + =
Vì
(
)
cos x 0 hay sin x 1
= =
không phải là nghiệm của phương trình
(
)
2
nên chia hai vế của
phương trình
(
)
2
cho
3
cos x
, ta được:
(
)
(
)
(
)
3
2
2 tan x 1 4 tan x. 1 tan x
⇔ + = +
Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm:
( )
tan x 1 x k , k
4
π
= ⇔ = + π ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= − ⇒ = +
. Lúc đó:
(
)
(
)
3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t
⇔ = + ⇔ = +
(
)
(
)
3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t
⇔ = + +
(
)
3 3 2 2 3
sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t
1 0
⇔ = + + + ⇔ + =
(
)
( )
cos t 0
3
t k x k k , k
sin 2t 2 L
2 4 4
=
π π π
⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ≡ − + π ∈
= −
ℤ
.
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải
Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả
sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu
(hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý
(
)
x 4x 5x
+ =
và
(
)
2x 3x 5x
+ =
. Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,
chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình
tích số.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
5x 3x 5x x
cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2cos cos 2 cos cos 0
2 2 2 2
∗ ⇔ + + + = ⇔ + =
5x 3x x 5x x
2 cos cos cos 0 4 cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
⇔ + = ⇔ =
( )
5x k2
5x k x
cos 0
2 2 5 5
2
cos x 0 x l x l k;l;m
2 2
x
x x 2m
cos 0
m
2
2 2
π π π
= + π = +
=
π π
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
π = π + π
=
= + π
ℤ
.
Bài 14. Giải phương trình:
(
)
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0
+ + + = ∗
Bài 13. Giải phương trình:
( )
3
sin x 2 sin x 1
4
π
− =
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét